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中日美数学专家关于数学教育与珠算文化的时空对话
2017/6/8 11:21:57 http://www.shzxs.org 来源：上海市珠算心算协会 阅读：1825人次
中日美数学专家关于数学教育与珠算文化的时空对话
中国珠算心算协会顾问
日本·中国珠算问题研究会顾问 张德和
上野建尔：日本数学家协会会长
四日市大学关孝和数学研究所所长
京都大学名誉教授
郭启庶： 河南财税高等专科学校数学教授
中国珠算协会第五届副会长
李奥·理查德：博士
美国南加利福尼亚大学教育学院
美国珠算研究所主任
李培业： 西安财经学院数学教授
中国珠算协会第五届副会长
张奠宙： 华东师范大学数学教授
华东师范大学数学教育研究所所长
国际欧亚科学院院士
曾任国际数学教育委员会执行委员
上野建尔等五位虽系数学界的学者，但都在各自能力、影响所及的范围内为推动中、日、美三国的珠算文化发展作出了一定的贡献。他们由于国情、文化背景不同，在对珠算的历史地位、功能作用上虽然各有不同的见解，但都是我们今后值得深入思考、不断探讨的课题。
上野建尔先后发表二篇关于珠算文化的文章。2007年笔者收到户谷清一先生寄来上野建尔的《珠算将来》一文，该文由三个珠算组织：全国珠算学校联盟、全国珠算教育联盟、日本珠算联盟的社团法人、理事长共同联名作了介绍。序言中说：“我们认为，舆论、教育界有识之士们期待珠算复活的愿望非常强烈。在这种状况下，此次，我们委托京都大学理学研究所教授上野建尔先生撰写了论文。请他阐明珠算的实际情况、意义 价值以及在历代社会地位中如何运用日本传统文化——珠算，以及将来珠算所处的地位等”(论文载于《上海珠算心算》216期2008年5月)。
2008年3月28日日本文部科学省发出《关于新学习指导要领》的布告，提出要脱离过去制定的“轻松教育方针”，在增加课时数的同时做出在小学进行“三、四年级珠算指导”的决定，这体现了政府的认同。日本珠算联盟理事长森友建在日本数学学会会刊《数学文化》第11期中刊文指出：
“珠算教育之所以能够得到如此的肯定，其形成原因主要源于如下五个事项：
1、 持续了八年的在全国开展支援学校的珠算指导活动奏效。有报告指出：通过此项活动学校方面增进了对珠算指导的理解，孩子们对用算盘作教具的算术（计算）指导表现出浓厚的兴趣。
2、 2004年开始的尼崎市“计算（珠算）教育特区”的珠算指导进展顺利。最初从1个试点校开始的这项活动在步入第6个年头的2009年将扩展到全市所有的43所小学，由此可见引进珠算指导的教育效果是卓有成效的。
3、 10年来各珠算团体在各地区坚持强化珠算教育的公关活动。就“当代为什么需要珠算？”条理清晰地进行了说明，促进了舆论对珠算教育的理解。
4、 在日本实施大约有30年的“轻松教育”使得孩子们的基础学力下降，为教育革新制造了高涨的气氛。
5、 孩子们的基础计算能力的无止境下滑，致使家长们的危机感不断扩大。”
森友建在文中着重强调：“与日本数学学会的协调”。
在这个大背景下，2011年6月上野建尔发表了第二篇文章《数学教育与珠算文化》（原文发表于“琦玉大学经济学会”出版发行的《社会科学论集》,中文刊于《珠算与珠心算》2012、2第59期，译者为梅大海）。
本文借上野建尔发表的《数学教育与珠算文化》一文为题，把五位学者观点的论述，有针对性地组织一场“时空对话”。
一
上野建尔在“结论”中指出，珠算在当前日本还可以发挥哪些功能作用。
“在初级及高级教育中引入珠算教育之际，强调珠算具有哪一种侧面，其教育效果就会完全不同。
如果考虑把算盘用作理解十进制计数法的教具的话，从小学一年级开始就引入算盘具有意义。
但是，如果从数学来理解珠算算法所具有的意义，并将算盘用作学习算法的教材加以利用的话，珠算作为一种教材把它引入从小学三年级起到中学为止的领域中进行教育会更有效果。
对于珠算教育界，有必要吸纳的不仅是计算数值的心算，还有文字式的计算，用心算求解多元一次方程式。这样，珠算和中学之后的数学的共存就会更容易了。”
从上野建尔的主张我们可以看到，他并不认为把珠算、算盘从小学一年级开始引进后，就一以贯之，直到中学教育，而是断断续续的引进。是什么原因呢？
上野建尔对此有明确的观点：
“珠算界的有关人士建议在小学教育中应更加积极引进算盘，理由是有些场合算盘比笔算更便于计算，但其中大多数的主张忘记了小学的数学课一直延续到初中和高中这一事实。
小学数学本身并非是一个自我完成结构的封闭式体系，而是要与初中、高中数学直接接轨的。在日本，小学数学被称为“算数”，造成了其有别于“数学”，是一个简单科目的误解。其实用数学的角度考虑“算数”的教学题材是一件极难之事。加之小学的整数、分数、小数的四则运算的笔算持续到中学的多项式以及之后的函数运算。因此考虑到将来的数学学习，作为准备阶段在小学阶段必须学好笔算，并且要留意这是算盘不可代替的部分。另外，即使是计算问题也有算盘代替不了的，那就是分数计算和比例计算。对于这些计算，算盘不是做不到，而是没有确立算盘计算用的算法，这让人感到不可思议。
初中、高中的笔算主要是关系到式子的变形，对此算盘无法代替，算盘无法表示多项式，更无法表示函数。”
为了说明在小学和中学数学教育中笔算为什么必须一以贯之，他还从历史上的发展进行论述。“明治政府之所以排除“和算”（指在宋、元时代中国数学的影响下独立演变的日本算法，相对“洋算”而称。尤以江户时代的数学家、被日本人称为“算圣”的关孝和（？—1708）贡献为大，译者注）引进以笔算为基础的西洋数学，就是因为不带函数概念的“和算”无法对应军事与工业领域的需求。珠算虽可以做到四则运算，但不能处理函数计算，出于这一理由，明治政府决定舍弃珠算，制定了以笔算为小学数学教育的基本方针。
综上所述，在初等和中等数学教育中单独开展算盘教学实际上是不可能的。学习笔算是通往中等教育必不可少的过程。这部分不论是计算器还是算盘都无法代替。
为了反复说明“算盘在教学教育中的作用”，上野建尔又列出两种立场。“一种，如果从小学一年级就开始将算盘引进到教学中的话，就应开发分数计算与比例计算在算盘上的标记以及四则运算的算法。这样的话，就需要明确进入中学后珠算与学习笔算的关系。
如果产生算盘打得好，但不擅长数学的现象，那么将珠算引进到义务教育中则毫无意义。
另一种，与前者的思考方式正好相反，引进算盘不以其计算为目的。通过学习珠算和笔算的计算法，去理解算法的含义，特别是珠算的除法口诀对于有效地理解算法会很有意义。
这样分析的话，算盘主要作为小学低年级学生理解定位记数法的手段，正式使用算盘进行四则运算（特别是乘法和除法）从三年级或是四年级开始。注意在这里算盘不是为了快速计算，其主要目的在于理解算法。
站在这个立场上的话，用算盘学习包括最大公约数的计算法、使用复数算盘的联立方程式解法、开平方、开立方等计算可以持续到中学，并且最好是坚持到中学。
通过上述的考察，将算盘引入数学教育的后者效果较大。”
这是上野建尔在小学乃至中学数学教育中，在笔算是必不可少的前提下设计的珠算进入小学乃至中学数学教育的一幅蓝图。
从当前实际情况来看，日本文部科学省决定从小学三、四年级开展珠算的学习指导，是一个良好的开端，为日本数学教育和珠算文化向前发展奠立了一定的基础。从世界珠算心算界来看是值得庆贺的一件大事。
二
上世纪60年代国际上掀起“新数学”运动的改革浪潮。杭州师大黄继鲁在《从数值计算发展看珠算的价值》一文（《珠算的未来》1996年上海珠协刊印）有详细的叙述：
“1960年在国际曾掀起“新数学”运动的教改浪潮。由于1957年苏联第一颗人造卫星上天，美国深感恐慌，派人调查，认识美国中、小学理科教学不如苏联，从而通过了《国防教育法》，拨巨款改革教育，1959年9月以布鲁纳为首的35位科学家、教育家在伍兹霍尔召开会议，研讨中小学数理科教改问题。对数学提出“新数学”。其特点是：在小学引进集合、对应、概率、方程、函数等知识，编出SSMCIS教材，英国也编出SMP教材，西德、法、日、苏等都编起了新大纲、新教材，掀起世界性的中、小学数学教学现代化的运动。可是，好景不长，70年代，倍受责难，教师、家长都要求“回到基础”、“新数学”失败了。特别值得吸取的教训是：“新数学”对计算教学在小学采用电子计算器，使儿童计算能力普遍下降。不少数学家、教育家认识到“如果不具备基础的计算能力，就不会养成数学上的思维能力。”美国布莱克利博士呼吁：“高中以下学生学习数学时，不要使用电子计算器。”
美国从日本引进珠算，但从美国珠算研究所主任李奥·理查德在1982年3月28日在日本京都举行的国际珠算教学研讨会上和1990年梁特猷访问理查德以后所撰写的《探石他山》（刊于《上海珠技报》1991年2月第67期），和1995年理查德在中国黄山珠算国际理论研讨会上的回顾总结性发言来看，他对珠算的历史地位、功能作用方面的认识和日本不尽相同值得仔细研究和探讨。
李奥·理查德认为：“对美国教育来说，珠算有极其重要的价值。其作用在于珠算可以用来表述除了算法以外的算术基本概念”。
“算盘为教师们提供了一种完好的传授器进行数学教育，从简单的数概念到复杂的开方。使用计算器完全不需要思考，而使用算盘却要学生每时每刻都要参与计算，掌握算法的全过程。”
“算盘的基本概念都蕴藏在计算机中，它贯穿于计算和运算的本身。但算盘的概念却展示给了人们，而计算机却只能存在于针头大小的集成电路里。”
“算盘的心理特点是很多而且巨大的，兴趣是学习的基础，学生对算盘感兴趣，因而学习很积极，由于孩子们珠算水平不断提高而有了自信心，对于其他学科的学习以及生活上的反应都显示出迥然不同的积极性来。”
“很明显，算盘作为课堂数学教学用具的潜力是很大的，我们愈来愈深刻认识，应用算盘教学许多概念是很自然的，孩子对数及位的意义和计算的结构等很快就会理解。现在我们已将珠算纳入算术教育之中了”。
这里可以看出，美国珠算教育把计算和算法是紧密联系在一起的，不存在没有计算的算法，也没有不具备算法的计算。在小学数学教育中也是一以贯之的。不同于上野建尔在运用珠算于数学教育中则侧重于理解算法：一年级引入则作为理解数位的方法，三、四年级引入则用于通过珠算算法理解数理。
李奥·理查德的言论中，珠算进到数学教育中是从计算入手的，在这过程中并没有出现“笔算是必不可少”的看法。这是因为美国珠算教育把珠算作为计算工具、学具、教具对待，没有和记数方法混为一谈，不存在珠算不能表示式子变形，无法表示多项式，无法表示函数等等。因为那是属于笔写的部分，而不是笔算的部分。而这种笔算的部分，上野建尔也谈到：“小学的笔算和支撑笔算的心算是在明治时期由美国传来的。但很难说将其成功地理论化。需要注意的是，小学这样的心算与基于算盘的心算是有区别的”。很明显笔算是包含着笔写和笔算（心算）二部分。珠算引入数学是代替笔算中那部分“心算”的。既然是计算，就不可能要求也去显示式子的变化、多项式、函数等。因为那是笔写解决的事情，不是“算”要解决的事。在中国历史上不少学者也认为珠算无法替代筹算，因为它不能像筹算那样“漫布式”用算筹放在不同的位置，表现不同的算法要求。这是对筹算历史上是用算筹记数和用算筹计算两者合而为一所产生的误解。我国明代珠算一统天下，记数方法则仍然是用筹式和汉字记数的。这可以从《算法统宗》看出。同样在日本古代，也诚如上野建尔所说：“江户时代的日本数学家们用纸立出方程式，用算盘计算”。这也反映了我国古代珠算替代筹算后的实际情况。虽然在实际情况中人们看到这点，但由于古代用算筹表示记数和用算筹进行计算，记数方法和计算是合而为一的。长期以来，造成在认识珠算功能作用时，往往把记数方法也要求珠算来表现。这就阻碍了人们对珠算的深入理解。
日本珠算已有500年历史，而美国则在上世纪60年代从日本作为“新文化”引进。对珠算在当代的作用、地位意见也不尽相同。
日本在“珠算复活”的期待中，上野建尔写道：”正是江户时代的珠算所示，珠算也有其文化性的一面，就这样退出实在是很可惜的。算盘是一种具有文化内涵的工具和材料，是仅将其作为历史而存在，还是将其作为一种对今后有意义的存在而加以灵活运用，现在我们就面临这样的选择了。”
李奥·理查德则认为：“为什么在电子计算机时代，在几乎排得满满的行之有效的课程中还要挤出时间给算盘，让它与计算器、计算机去竞争，有什么意义？从哲学观点看，随着高度技术、高度机械化的加速，人们不断产生疏远感、畏惧感和依赖心理。这与学校教育目的——培养自由思考、自我表现、意志和创造力等等恰恰相反。
“如果我们只强调珠算速度与计算器相竞争，我们就可能降低算盘的价值，正像一种东西要待演奏家给它以生命，算盘也类似。人们用手指拨出数学语言，算盘也在创造数学。没有任何一种计算工具能像算盘这样全部由人来掌握。计算机的特点在于使人们失去自我控制，而运用算盘能让学生自我控制而不是被控制。我正在研究算盘技巧中含有比速度、准确更深奥的内容”。
美、日数学家在珠算的现代作用地位意见上所有所不同，但在对待珠算在数学教育中，一味地追求速度技巧为目的的评价都是一致的。上野建尔也认为：“如果产生算盘打得好，而不擅长数学的现象，那么将珠算引进到义务教育中则无意义。”
三
日本尼崎市出于小学生上数学课不集中，没有兴趣，教学遇到问题，开始引进珠算。从2004年一所小学逐步扩大到2009年包括全市的43所小学。日本文部科学省2008年决定全国小学三到四年级进行珠算指导，那是要脱离过去制订的“轻松教育方针”，再增加课时所作出的决定。为什么日本文部科学省不增加课时用在笔算的数学课程上呢？
美国认为小学中由于计算所占时间过多，不适应“国防教育法”要求，而用计算器代替小学中的计算部分。但实行后却失败了，一致认识到：“如果不具备基础的计算能力，就不会养成数学上的思维能力。”从而把珠算作为“新文化”而引进小学数学之中，那么美国教育为什么不在原有的笔算课程上下功夫呢？他们也没有提。但日、美两国教育界在小学数学教育中在事实上，面对提高小学生们基础计算能力时却不约而同地回避了笔算，而采取了珠算。但却没有对笔算在小学生学习掌握计算能力的功、过进行探讨，而这个问题至今仍困扰着世界上的小学数学教学。
经合会（OECD）“学习科学与大脑研究”二次会议在英国伦敦召开。大会决定2002——2005年的研究重点，放在三个与政策特别密切相关的而且具有非常高的应用价值领域：识字、计算和终身学习。大会指出“获取数学能力使许多在校儿童感到困难，甚至随后影响到成年的学习（包括计算困难）大脑研究新的成果和目标是：早期获取计算技能”。“计算困难的基因和注意力的基础”等（载于《教育研究》2002年10月）。同样提出了问题，也指出要找“计算困难的基因”。但同样的都回避了上野建尔认为的“笔算是必不可少的过程”这一个障碍。笔算造成计算困难从而使小学生感到困难而不感兴趣的“基因”是上野建尔所指出的“支撑笔算的心算”。笔算包括了笔写和笔算二部分，而所谓的笔算，实际上是概念式的计算。不把这个躲在笔算外衣下的“心算”指出来，加以改进，是改变不了几百年来笔算所存在的计算困难的问题的，而计算又恰恰是小学数学的基础。
我国有识之士早在20世纪已经把这个问题提了出来，而明确地从理论到实践，进行研究改革，而且卓有成效的当是郭启庶教授所组织的“数学教学优因工程”。
郭启庶从事珠算研究化了40多年时间，仅研究珠算的本性也花了20年。他写道：
“1904年以后中国数学教育全盘西化，用笔算教学数学，但笔算不实用（繁琐缓慢），实用还是用珠算。因此学校里要平行教学两套：数学里教学笔算，另开一门珠算为实用。这显然是一种时间浪费，1930年代浙江大学教授俞子夷曾经质疑到：“珠算、笔算，不知哪一种便利？要是珠算好，何必要先学笔算，到高年级略微学些半生不熟的珠算？要是笔算好，何必把不好的珠算还保留着？要是两样都好，那么只要拣定一样，学个彻底，何必要学两样？”但是，由于当时没有开展这方面学术研究的环境和条件，一直未能进行科学论证和试验验证，从而无法科学的回答这个问题。没有科学的道路就会沿着错误的道路发展，以至变成由谬论“教学数学必须用笔算，不能用珠算”统治至今。”
“要集中精力研究珠算本质，发掘其天然优势，从所得的本性中逐渐找到珠算在当代可以担当主角的位置。把珠算本性与笔算对比，容易发现它远远胜过笔算，从而把珠算用于数学教育前景广阔。应当作主攻方向。”
“首先，进一步认识到珠算符号化的意义，把珠算符号化从80年代就开始了，不过那时的看法，符号化还不过是实施珠算的比较简捷的一种方法。90年代进一步认识到，当代数学是符号化的，珠算符号化后就与数学语境完全合辙了，不过是新引进了几个符号而已；再者，凡是教学符号都要内化，珠算符号内化运用，就是珠心算，用符号化教学珠算就自然把珠算、脑算（珠心算）融为一体了。于是，在1996年“首届世界珠算大会”上发表了《把珠算符号纳入中西溶合的数学符号系统》论文，首次提出“计算用珠码，记录用阿拉伯数码”，不过还保留“笔算（记录竖式）”的说法，解释为：笔算=阿拉伯数码记录竖式+珠算式脑算，但还没有干脆说“用珠算代替笔算””。
稍后，在中珠协算理算法研究会编著的《古今珠算法的评价和优选》之《珠算法概论》（笔者著）中，进一步全面具体分析了《易经》思想方法与珠算思想方法的渊源，深入集中地研究了珠算本性：珠码符号有计算功能、一体性、二元示数以及与计算机一致的机制、算法等。这些，在《当代中国珠算》中，也尽可能作了些介绍。
总之，直到20世纪末对于珠算本性的发现和认识，主要有以下六点，而且这六点都是举世无双的。
1、 珠算符号有计算功能：拼排26个算母即完成一切运算；
2、 普适性：珠算省储存空间，是手、脑、机通用算法；
3、 一体性：珠算集输入、储存、运算、输出为一体，简捷无比；
4、 二元示数：输入一个梁珠数同时出现一个框珠数，体现对立统一规律；
5、 数形融为一体：算珠是点的模型，数的运算同时珠图变换；
6、 算具兼图具，算盘作为算具，又能数字化的构图。
2000年课标研制者，概括原来数学教学存在的弊端是“繁难偏旧”的总根源。但，现行数学课程结构是以笔算为基因构造的，而笔算繁（仅整数计算，若逐年级列出可能有几十个甚至不下百个环节，仅20以内就要熟记162式加减法表，仅整数就搞七个循环圈）；难（阿拉伯数码纯粹是抽象符号、数学思想贫乏，没有计算功能，只能死记硬背）；偏（只是手操算，不适合脑算，与计算机矛盾，与图形没有丝毫联系）；旧（不仅古老，而且落后，特别在计算机时代明显的过时了）。因此笔算才是“繁难偏旧”的总根源。
“珠算“知难行易”，它的这些本性非常明显、突出，说起来不玄，打算盘天天碰到它们，运用他们，知道珠算好，爱用，却说不出原因何在，比笔算好在哪里，知其然不知其所以然。笔者愚钝，学习研究多年通过本性对比，觉得更可以从以下六方面认识笔算和珠算的差距。
1、笔算用阿拉伯数码，无计算功能，必须死记硬背，数学思想方法贫乏；
2、笔算竖式是漫布式，占空间大，速度极慢，历来不实用，仅仅作为手操算，不适合脑算，与计算机矛盾；
3、输入、计算、输出各是各的，反复重抄，极为缓慢落后；
4、单一示数，与对立统一规律相悖，尤其处理正负数难免人为矫揉造作繁难；
5、单纯抽象的数符号，数形割裂；
6、更无法体现数字化（计算机）图形，等等。”
四
珠算进入小学有一系列问题要解决，不仅是珠算比笔算中的“心算”优越而已。上野建尔在文章说：“如果从小学一年级就开始将算盘引进到数学中的话，就应开发分数计算与比例计算在算盘上的标记法以及四则运算的算法。这样的话，就需要明确进入中学后珠算与学习笔算的关系。”这里的实质也是珠算能否处理“代数”的问题。
郭启庶为了适应小学或中学程度学生需要于1970年代开始研究，逐渐写出了数学课程配套珠算法，80年代初著了《珠算代数简捷术》。其主要内容包括：有理整数、小数珠算（包括有负数表示法的论证）、有理分数的珠算（包括最大公约数和最小公倍数）、解比例算法、连分数与近似分数珠算法、还包括有分数计算的珠算程序和电脑程序（两者完全一致）、线性代数的珠算法（包括二元线性方程组、行列式、一次同余式、解同余式组的珠算程序和电脑程序）、多项式的珠算法（还包括二进制的珠算算法、逻辑代数的珠算法）。由于《珠算代数简捷术》的问世，打通了珠算从小学到中学数学课程的道路。（《珠算代数简捷术》天津科学技术出版社 1987年4月第一版）
五
上野建尔认为：“珠算与数学有密切关系，特别是很多珠算算法和初级整数论有密切的关系，珠算作为初级整数论的教材有很大的趣味性。但是，算盘与几何图形没有直接关系，也不能表示函数。”
1995年在黄山召开的“国际珠算理论研讨会”上，郭启庶发表了《珠算与几何》的文章。
“（一）珠算体现着几何，中国古人是注意到了的。例如传统的珠算著作中有许多珠算象形题，还有珠算游戏等等。这些都不只顾到计算的一面，也顾到了由算珠排成的图形的一面。
在国外，也有人从这方面看问题。例如英国学者李约瑟（Losoh Needham）指出：“在珠算系统中隐藏着坐标几何学的方法”（李约瑟著：《中国科学技术史》第三卷，科学出版社1978年一版169页）。但是就目前情况来看，珠算所体现的几何方面，大多被忽略了。
（二）算盘可代表平面，算珠可代表平面上的点，并且把平面、点等概念形象化了。
显然，由算珠很易排成直线（线段），排成平行、相交的直线，排成直角、钝角、锐角、平角。
由算珠还很易排成矩形、三角形、平行四边形、梯形。
总之，基本平面几何图形都能用算珠排出来，而且比用铅笔画出这些图形容易、迅速；从形象上看，不仅看得见，而且摸得着，容易改变和调整，别有一番情趣。而且，用算珠排图会自然而然地引起追求速度。
此外，用算珠还可排出多种多样的象形图案，发挥想象力；还可以与计算联系起来，什么样的题，通过那些运算，可以得到算珠排成的某种有趣的象形图案……。
（三）用算珠排出的图形，能直观有关的量和计量方法。例如，在算珠排成的直线（线段）上用一颗算珠所占的空间长度作为单位，那么，线段上含有多少颗算珠，线段便长几个单位。线段的长度是多少，通过数算珠便得。这就把计量与数数统一了起来，形象地体现了长度的计量方法。
如果用一颗算珠所占的空间面积作面积单位，那么用算珠排成的图形的面积是多少，也很易计量出来，数出该图形含有多少个算珠便得。
由此也很易导出求图形面积的公式。如矩形长m个算珠，一排即含有m个面积单位；宽n个算珠，图形便含有n排，从而由乘法定义，图形所含算珠总数便为m×n，即矩形面积等于长乘宽。不仅形象直观，而且把长度面积、计量计数计算浑然一体，可以大大提高教学效率，有效地培养了儿童的观察、思维、联想、想象多方面的能力，即大大改善了教学方法的品质。
（四）人们看重欧几里得几何（如《几何原本》），不只是为了度量、实用，主要是因其具有严密逻辑系统，采用演绎方法，是西方公理化数学思想方法的代表作。这就是世界各国（包括中国）至今仍在中学开设这种几何课程的缘故。
珠几何（点阵几何）中的点有大小，在珠点基础上照样能建立起严格公理化的几何，这种几何不仅有理论价值，更有基的实用价值（参见郭启庶等著《珠数学——现代珠算的理论与实践》，中南工业大学出版社，第十章）。
（五）在数学的基础处引入算珠排图的几何（珠几何），目的不单单为了以此为教具使儿童易于接受和理解欧氏几何，更不是多学了些无用的东西、落后的东西，加重儿童负担。而是对阐明数学思想，实现数学教学的现代化（如计算机几何思想方法，点阵作图）有着非常积极的意义。
在数学里有两个很基本的问题：第一，怎样用连续的量去概括离散的量；第二，怎样用离散的量去逼近连续的量。前者是古老的物理和数学的问题；后者则是现代比较有效的处理方法，这是因为电子计算机的长足发展，数字计算机是处理离散量的强有力工具，对于许多离散量都有了计算的办法，因而，产生了大量的用离散量去逼近连续量的问题。当然，从实质上看，这两个问题只是一个问题的两个方面，对二者都能掌握和运用才更加理想。
欧氏几何有关的量是连续的，而珠几何量则是离散的。在数学教学的基础处引入珠几何后，既有利于用连续量去概括离散量，又有利于阐发用离散量逼近连续量的问题，加深儿童对数学中这两个很基本问题的理解，自觉而潜移默化地掌握有关的方法。这样的教学体系，显然比只教学欧氏几何的旧教学体系优越得多。
（六）珠几何图显然是点的集合，解析几何正是必须把图形看作点集，才能用方程刻划图形，通过对方程的运算，掌握图形的性质和规律。解析几何在数学发展史上的重大意义和作用是众所周知的，而珠几何正是早就蕴含了解析几何的思想。
再者，珠算的过程中，从数的方面来看是在运算，而从算珠形象来看又是在组成形。形与数是互相联系，密不可分的。而数形结合不仅是解析几何的基本思想方法，也是整个数学最基本的思想方法。从这方面看，也可知含有珠几何的数学教学体系优越得多。
（七）从实际应用来看，珠几何（点阵几何）的积极意义就更加明显；电脑图形、符号，字库都是用点阵图建立的；电脑输出（显示、打印）也都是靠点阵图；电视、传真等等也都是通过点阵图的形式进行的……可以说在当今电子计算机信息时代，点阵几何的应用，比通常意义下的几何（为欧氏几何）广泛得多。珠算能引入这么有用的几何，何乐而不为呢！
六
上野建尔说“算盘和几何图形没有直接关系”，以后还说“也不能表达函数，很难处理文字式。”
郭启庶在这方面也有说明：
“（一）数学中凡是笔算能够算的珠算都能够算，珠算不能算的笔算也不能算。即珠算完全能够取代笔算（不只小学，包括初中、高中），这已经由教学实验证明。至于开发珠算算法（有效的解决方案），至迟于上世纪七十年代就开始了，而今已经相当完善。
（二）在数学教学中不仅珠算能够完成取代笔算，而且简捷、优越得多，使许多数学内容也简单易学了。可以使数学教育简易、高效而现代化。
（三）珠算解决不了的数学计算（如“不能处理函数计算”），笔算也照样解决不了。如笔算能够算出yO=sin35°吗？不能！只能查“三角函数表”知它为0.5736，再用笔写下来；拉计算尺至多得出yO=sin35°=0.57，精度太差；而用珠算教学数学，遇求yO=sin35°也可查表、拉尺，笔写下来。不能说会打算盘的人，就不会查表、拉尺、写结果。进一步说，按sinx的幂级数展开式，笔算可以求出yO=sin35°的值；但此时按展开式算，珠算不仅可以，而且比笔算更简捷！可是现在“以笔算为小学数学教育的基本方法”的数学，即便到高中也不知sinx的幂级数展开式；而如果“以珠算为数学教育的基本方法”的数学，第17册九年级上学期就有这项内容“。（注：郭启庶著的《优因数学教材》第17册）
七
当前正处于高度机械化发展的信息时代，珠算与电子计算机的关系是数学专家所共同关心的问题，各有不同的思考。
上野建尔：“使用算盘计算，是根据计算的算法进行的。重要的是我们在将算盘作为计算机发挥作用时要发现其进行高效计算的方法。人们认为现在需要的是有一个珠算算法的算术理论性的解释。”
在我国，珠算算法已经被认定为“机械化的算法”。其和计算机高效计算方法之间如何进行理论的阐述。郭启庶做了深入的研究。
“20世纪，那时碰到的最大问题是“电子计算机普及了，该淘汰珠算了。”如果真是这样，那么搞珠算、珠算学、珠算协会就没有意义了。解决这个问题很迫切，我大抵从1980年开始连续进行了五年不间断的学习、研究。结果发现“珠算与电子计算机数学原理、机制相同，系统相似，语言相应，程序相当，方法技巧可以共享。”差别只在手动或电子驱动，珠算是形象化的电脑，电脑是武装以电子技术的珠算。世界上再找不到比珠算更与电子计算机亲近的算具算法。电子计算机功能强大、效率高，但也有短板：它是黑箱，用于数学教育，教学数学原理、规律、算法原理、脑算等无能为力。珠算是白箱，正好可弥补电脑的不足，又由于两者的一致性，教学珠算就相当在一定意义上在教学电脑算法，从而数学、电脑自然整合。结论是：计算机、珠算并行不悖、各用其所、相得益彰，计算机普及了不是要淘汰珠算，而是更需要珠算！”
八
郭启庶不仅是一位数学、珠算理论方面的专家，更是数学教育的实践者，在世纪之交创立了数学教学基因分析法，融合西洋数学符号化思想方法，中国数学珠算符号模型，率思想方法等优良基因、范式，编织数学课程知识结构，建立了《优因数学》。
简单地说优因数学彻底以珠算珠心算为载体，以率的思想方法为主导构建数学课程知识体系获得了简易高效、现代化的效果，展现了古代数学的辉煌。课程中算式运用到哪里，珠心算也运用到哪里，即使学到解同余式组（大衍求一术）、高次方程数值解（用增乘开方法）时，珠心算也同样跟上，而且算式运用到哪里，计算机的程序也编制到哪里。堪称是既传统又现代，既古老又年轻的数学教学。2002年优因数学在河南省济源市五龙口实验小学开始实践，结合教学实验进程编著教材共有18册，从小学一年级到初中三年级共9个年级。第一轮教学实践结果，小学毕业生数学达到中考水平，初中三年级学生数学达到高考水平。这是我国再现古代数学与当代数学相结合的一个伟大创举（详见《上海珠算心算》228期2011年11月《看实验效果 证优因数学》）
九
郭启庶的《优因数学》是顺应时代潮流，体现数学、珠算在当代的发展规律，不是一个人突发奇想，一时冲动之举，是当代的数学教育和珠算文化发展大势所趋。1995年黄山珠算国际理论研讨会，各国代表纷纷发言，大都是指向珠算的将来，我国珠算史家、数学史家李培业的《中国数学的特点与珠算发展方向》一文，可以概括这种趋势，也是和郭启庶所实践的《优因数学》理念上是一致的。
“珠算向何处去？”
“我国数学是以构造性与机械化为主的算法体系。从数学发展的趋势看，下世纪将以算法体系为主流。
1、 要和电子计算机接轨
如何接轨。是我们研究的重要课题，也是有人提倡的“四算结合”的中心问题。“四算结合”中目前应以珠算与机算结合为重点。我的意见是把珠算改造得成为学习电子计算机的预备阶段，要使珠算与计算一脉相承。比如：进位制的介绍，计算机结构介绍等可在珠算中讲。在珠算中引入算法语言，计算机的语句定义符可用的都搬来，缺少的再增加，简单的程序语句可在珠算中学。将珠算中的算法均用程序来叙述，废除文字表达。当然这要从小学一年级开始慢慢建立起来，等到学完珠算后，已经对电子计算机的知识有了初步了解，这样接着学计算机，就顺理成章了。
2、 要搞珠算现代化
珠算虽然古老，让它生存下去，非搞现代化不可。不但在计算方法上现代化，而且在理论上要现代化。珠算中有些问题看来简单，但要从理论上证明它就不那么简单了。我们要用现代科学的成就来研究珠算，不仅要用现代数学，也要用其他科学，如系统论、符号学、心理学等等。这方面郭启庶、朱世浩等同志做出了很多贡献，我认为他们的方向是正确的。有人提出“珠算来自民间，不要等式，”就是把珠算拉到《算法统宗》的年代去。中国古典数学没有建立起符号代数，是它的缺点，不是什么优越性。我们不能老是站在古人的脊梁上跳舞，要创造一个新天地。
现在我们一味强调比赛、鉴定，为了在计算速度上超过计算器。如果有一天失去这个优越性，珠算不是就无用了吗？所以，我们要开辟新领域。几年来，我们一直强调珠算的教育功能，但在理论和实践上没有大的突破，所以不能引起教育部门的重视。郭启庶同志提出的“珠数学”值得重视，要挖掘珠算的潜力，假如能做到使珠算象几何、代数一样，做为初等数学的三大基石，则珠算就会永远存在下去。另一方面，我们要把珠算向高等数学方面发展，起码使人们认识到珠算不限于四则运算，更不是单纯的加减计算器。这样才能使珠算有生命力，才能谈到发展。
3、 要发展珠算式心算（珠心算）
发展心算，不单纯是为了搞“神算子”表演，起轰动效应，主要地是为了开发儿童的智力。发展心算能提高学生的记忆力、分析和综合能力、比较和划分能力、培养洞察力。通过心算的长期训练，可以使人脑变成处理现实世界问题的有效工具，这对学生终生有益。珠算式的心算就是数学中的数形结合的方法，而数形结合的过程，是在教学概念、判断、推理的指导下，运用联想和想象方法展开思维活动的过程。“整个的心算就是一个复杂的联想、想象组合群反复作用的结果。长期训练，可使儿童的联想、想象能力得到良好的发展，这对开发智力是有极大好处的，这也是其它心算所不能比拟的。所以发展珠算式心算，是为珠算开辟了一个新天地。
总之，我的想法是：若要珠算继续生存和发展下去，则必须要和数学的发展合拍，要和当代先进的计算工具连在一起。要开辟珠算的新领域，不能光停留在加、减、乘、除上。我这样说，并不丝毫降低珠算在现实生活中的应用，而是从战略的眼光，从长远的前景考虑，才提出这个问题的。不妥之处。尚希大家指正。
十
在中日美三国数学专家时空对话之际，还想就上世纪我国珠算界、数学界中有关珠算的本义、本质是什么？它是数学吗？将五位数学专家的看法也进行一次对话。
上野建尔：“珠算与数学有着密切关系。特别是很多珠算算法和初级整数论有密切的关系，珠算作为初级整数论的教材有很大的趣味性。但是，算盘和几何图形没有直接关系，也不能表达函数。很难处理文字式。中国古代用算术解开一次方程式也是可能的。中国的宋代、元代，用算术和算盘求解高次方程式，它是通过用若干个算盘进行求解开，这在日本的江户时代也有所记载。但是，为了求解高次方程式文字式的计算里笔算是很关键的。可以在纸上进行文字式和函数的计算和推论。用算盘不能表示文字和函数，这是珠算特有的局限。这就意味着要构成今天的初级和中级数学教育是不可能以珠算为中心的。”
李奥·理查德：“人们用手指拨出数学语言，算盘也在创造数学。”
李培业：我国古典数学的创造与发展，对算器有极大地依赖。在历史上，其他民族也创造过各种算器，但对其数学的影响却微乎其微。独有中算却始终在筹算和算盘的影响下发展。筹算和珠算就是中国数学的全部。充分使用算具，我国数学就具有与西洋数学不同的特色。
郭启庶：无论从数学定义、珠算的本性或是珠算产生、作用和发展历史来看，毫无疑问，珠算的本义是数学。
现代，数学是一个具有内在统一性的庞大科学体系。历史上数学常常用某个侧面来表示，中国古代，用至简一个字“算”表示数学，以强调其计算技术方面，直到1938年方改称数学。亚里士多德（公元前383—332）说：“数学是量的科学”；笛卡尔（公元1596—1650）说：“数学是研究顺序和度量的科学”；恩格斯（公元1820—1895）指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。
张奠宙：“珠算是中华传统数学文化的瑰宝。”
十一
当前，中国珠算教育正处于比较困难的时期，2001年教育部颁发的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中完全取消了珠算。教育部只同意各地在学校同意的原则下可以实施校本课程。
2006年，在上海召开了“弘扬珠算文化专题研讨会”这次会议是由珠算界和华东师范大学数学教育研究所联合举办，是珠算界、数学教育、数学史、科学史多学科专家的对话。大会通过了“遵循民族的、科学的、大众的方向，大力弘扬中华珠算文化”的主题文件，文件由张奠宙起草。其中提出：“珠算是中华传统数学文化中的瑰宝，是一项影响深远的非物质文化遗产。在计算机技术蓬勃发展的今天，珠算仍有强大的生命力。“珠心算”的出现，更是珠算文化的创新发展。”这就把珠算的社会价值从技术操作层面提升到数学教育的文化层面上来，改变了千百年来珠算被贬低了的历史地位、功能和作用，具有重大的历史意义。
张奠宙说：“关于珠算的今天，我们觉得珠算在计算机技术迅猛发展的今天，依然具有强大的生命力。珠算的原理与计算机的机制有某种程度的契合，珠算的计算功能也没有被计算机完全覆盖，珠算文化有助于儿童潜能的开发。因此，尽管社会上肯定珠算的意愿不高，但是民间使用珠算的风气始终不减，“三算结合”、“ 珠心算”实验不断成功，更是珠算文化在今日的强音。
展望未来，我们首先把目光投在“珠心算”的发展上。这是中华文化的一个重大创新。如果说“珠心算的试验成功将是对我国数学教育的重大贡献，甚至会对世界发生相当影响，我认为事实将证明并非过誉。”
当张奠宙看了董李凤美康健学校智障儿童学习珠算、心算以后所取得的效果时，激动地说：“什么叫世界水平，就是赶超国际先进水平，在哪里呀？我做了多少年的数学，我觉得我的数学水平没达到世界水平，论文在世界上发表又怎样呢？但我今天看到世界水平了，刚才看到一年级的智障学生能认识1、2、3、4共4颗珠子，我觉得这就是世界水平。我不知道来自马来西亚、日本，还有台湾的朋友，象这样的教学在世界上是不是最好的？（会场上一阵热烈的掌声做了最好的回答）。我们要向他们学习，用自己的努力、自己的爱心，为和谐社会来贡献我们的力量。正如我们今天看到的珠心算，如果能在世界是扬眉吐气，这正是我们努力的目标。今天我们付出了感动，但我们看到了目标，用我们自己受到的感动，为了我们未来的目标共同努力，这是我的心声。”
会后，张奠宙立即以三人联名：
张奠宙 华东师范大学数学教育研究所所长
陆 萍 上海市珠算心算协会秘书长
黄建弘 上海师资培训中心莘庄基地，九年义务教育上海小学数学课本副主编
发表“珠算：不该被遗忘的角落”，向数学界、教育界人士积极呼吁，恢复在小学中的珠算教育。
由于2006年大会文件中的呼吁，在中国珠算心算协会的努力下，2008年国务院将珠算列入国家级非物质文化遗产名录。
从2006年到2011年多年中张奠宙多处奔走，各方联系数学界、教育界，尤其是小学数学课程标准修订组的人士，终于在《2011年全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》送审报告的部分摘要中，提出了：
“标准修订过程中关注的若干重要问题
体现中国传统文化在学科中的传承
数学学科的抽象性和广泛的应用性，使其成为国际化的通用的方法与工具。数学是人类文明与发展的瑰宝。数学的原理与方法体现了人类的智慧，反映了社会的进步与发展。具有几千年文明史的中国，对于数学的发展与做出了杰出的贡献。数学课程的设计不仅要反映人类文明发展过程，更应当使学生通过数学了解中国在数学发展中做出的贡献。如珠算作为中国传统文化的重要内容，在标准中做了适当规定‘知道算盘可以表示多位数’。”
虽然，当前课程中还不能进行“珠算的计算”，但数学理念的接受是最重要的。它为今后珠算在数学教育中的开展树立信念，奠定了理论基础。
张奠宙针对我国当前数学教育的现状提出了分三个层次进行的计划：
“第一个层次， 也是最基本的层次， 是认识算盘， 用算盘学习数字的位置记数方法。
第二个层次则要求实际操作， 属于课外活动内容。 这需要由学校提供或学生持有真实的算盘， 实际地打算盘。众所周知，珠算的优越性在加减运算上体现最为明显，数学教师也容易掌握， 所以实行起来并不困难。
珠算教学的第三个层次， 是开展珠心算活动。”
回顾这段历程，张奠宙说：“我从事数学教育多年，但还是第一次参加珠算会议，因而是个‘新手’。经过这一段时间的学习，我初步的体会是：数学教育界同仁来得太少了，也来得太晚了！”为珠算文化现状而焦虑的心情令人感动。
国内外数学教育与珠算文化的开展情况告诫我们：中国珠算界今后仍将加强与数学界、数学史界、教育界的合作，不断解决当前珠算进入小学、中学数学教育中的一系列理论上、技术上的问题。尤其是向各界进行宣传解释的问题，团结更广泛的阶层，不断总结来自实践的经验，不断培养优秀的师资，积极争取国家教育部门的支持和认同，为开拓数学教育和珠算文化的前景而作出努力。
