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以“五升十进位值制”为基本的珠算 是最适合人类的算具算法
2017/7/11 14:13:26 http://www.shzxs.org 来源：上海市珠算心算协会 阅读：1792人次
以“五升十进位值制”为基本的珠算
是最适合人类的算具算法
马中星
“五升制”和“十进位值制”都是中国古代先民发明创造的。
“五升制”不仅仅是举世无双的伟大创举，而且中国常用至今，是中国数学的优秀传统，十分科学。古老的筹算、珠算都使用了五升制。五升制其实是在1与10之间插入了一个中进率五，从而使算珠能够构造可直观的基数码，形成了珠码符号，衍化出科学完善的算盘的结构，最能适应和满足十进位值制的需要，同时也简化了十进位值制，优化了珠算的性能。
我们的祖先，以相同的算子元素（棍或珠），累积，并运用所处空间位置不同表示不同的数值，采用了“位值制”思想方法。以“上横一棍表示五，构造出筹码；设横梁，梁上一珠表示五，构造出珠码。这样表示的十个基数码（空位、空档表示零），都能够直观，一眼看出”。不仅为人类的计算活动带来简捷和方便，也曾给人们以启迪智慧的美妙享受，更给珠算的完美准备了条件，为后来升华成珠心算奠定了坚实基础。
“十进位值制”为我国最早发明使用。先民们以基数码与计数单位相结合表示数，同数左右位的值是十倍关系，故珠算本档满十要向前档进一，示数、计数十分快捷方便。十进位值制的发明创造,提高了人类使用数字的能力，对世界数学的发展作出了重大贡献。所以被马克思赞誉为“最美妙的发明”。
“五升十进位值制”更彻底充分运用“位值”原则，突出了“位值制”思想方法的灵活运用，是一种简化、优化了的十进位值制。是人们由低频思维向高频思维发展的催化剂，是使数值计算与数学教学准确迅速、简易高效、科学实用的凭借，衍化出了最适合人类的简易高效的算具算法。
一、“五升十进位值制”衍化出了世界最完美的手动算具算法
罗马数字虽然采用中间单位，但由于没有基数概念、各个中间单位各不相同，如V，L，D等，仅仅是累积，还有左减右加的区别，不知用位值思想，更不会运用五升制思想，所以，虽然采用中间单位，但无论计数或计算的繁琐一点没有减少。
俄罗斯和北欧的每档十珠算盘，不用五升制，结果表示5以上的码不能直观，或者说不能构建5以上的珠码符号，结果，这种算盘无论操作的准确性或速度都远远不及五升制算盘。
印度-阿拉伯数码，由于没有累数思想，也不知用五升制简化基数码，仅仅是用十个不同的抽象符号1,2,3,4,5,6,7,8,9,0表达基数码，既不能体现计数的数学方法又不能体现计算的数学方法，所以，笔算一直逃脱不掉死记硬背的无比繁琐。为了弥补没有累数思想的缺陷，西欧不得不采用“捆小棒”之类的办法，但小棒不能直观5以上的数码，不能符号化，又不采用位值思想方法，只是大大小小梱，捆了又捆，繁琐无比。
而用算珠，自然体现累数思想，又采用基数周期思想，还特别充分采用位值思想：用空间位置，既表示计数单位，又表示中间单位（五升制），既用左右位，又用上下位（五升制），集成融合了计数、计算的所有的优秀数学思想方法，无比简易、快速。
中国祖先以无比的高智慧，发明创造了五升十进位值制，奠定了人类最完美的手动算具算法基础，衍化出了世界最完美的手动算具算法——珠算
二、“五升十进位值制”的诞生
“五升十进位值制”是人类生理特征与中华祖先智慧相融合的产物。
中华民族自古就有“尚五崇十”的传统和习俗，是与生俱来的天性。郭沫若先生在《甲骨文字研究释五》一文中指出：“数生于手，一拳为五”。人打一出生，都有一双手，各有五指，双手共有十指。伸一个手指是1，伸一只手是5，伸双手便是10。数数开始是搬手指数，从1数到10；后来“一五”、“一十”的数，十分方便快捷；再后来两只手用完了，就在绳上打个结表示10……天长日久，通过等量置换的方法，就悟出了以“1”当“5”的数群记数“五升制”和满十向前位进一的“十进位值制”，两者相结合，便形成了“五升十进位值制”。“五升十进位值制”是简化了的“十进位值制”，为棍棒或珠子表数示码确立了“位值”原则，从而充实完善了“位值制”思想方法。珠算将位值制与累数制巧妙结合，仅用五颗算珠就拼组成了十个基数码，保留了一切优秀的计数、计算思想方法，使五升十进位值制的算盘成为最适合人类计算的利器。所以说，“五升十进位值制”是受人类肢体的启发，经中华祖先“尚五崇十”精神的提炼所形成的智慧结晶。
三、“五升十进位值制”的历史渊源
华夏祖先擅长计算，发明了“十进位值制”，它的产生源于屈指可数和结绳纪事。上古时期，先民们一般靠十个手指数数，超过十或者更多，手指不够用时，就用结绳计数。每数10个，就在长绳上打个结，表示有10个物件，长绳上打多少个“结”，就表示有多少个“十”。这就是“逢十进一”的初始形态，“十进位值制”的雏形。到公元前二世纪成书的伟大数学经典《九章算术》中“十进位值制”已十分成熟。其实，早在此书之前的一本数学著作《算数书》中，就已运用了“十进位值制”。追索到三千多年前的商朝，刻在甲骨文中记戴的“俘人十又六人”、“鹿五十又六”、“五百四旬又七日”等几段文字的描述，说明中国先于其他几个文明古国使用了现在通行的“十进位值制”。我国古代的筹算、珠算用空位、空档表示“0”，也先于印度发明“0”早600多年，使十进位值制至臻完备、十全十美，这也是中国人民最早发明使用十进位值制的又一有力证据。
中华民族素有“尚五”的传统和习俗，十分重视数字“五”。有五行、五岳、五音、五更、五官、五金、五谷、五脏之说等等。在《易经》的“河图”、“洛书”中都是以“5”为核心组码排阵的，并衍生出生数和成数。用5+生数1、2、3、4=成数6、7、8、9，受其启发就形成了超四满五升一的定制。在我国14种古算法中有8种都采用了“五升制”。其中珠算最为优秀，将“十进位值制”与“五升制”综合兼用，得以至臻完善，长盛不衰。
四、“五升十进位值制”发明应用的伟大意义
“十进位值制”是我国发明的。郭启庶教授指出：“十进位值制了不起，是它把大数目的表示、运算简化成10个符号的读写、运算”。十进位值制在表数、计算方面既使用“累数制”，又有基数概念运用周期思想，再加使用“位值制”，从而使计数法与数值计算十分简易准确，快捷方便，使我国古代数学迅速发展，达到高峰，领先世界一千多年。而西方人的祖先，只习惯累数制，不用位值制，无基数码，只是单位符号简单累计。使表数、计算十分繁难，数学发展停止不前。直到中国发明的“十进位值制”经印度→阿拉伯传入欧洲后，才使西方从繁难低下的计数计算中解放出来，并随社会生产力的发展，西方数学才腾飞起来，得到了大发展。“十进位值制”就是数学的翅膀，推动了世界数学早期的发展。李约瑟博士在《中国科学技术史》一书中赞到：“如果没有这种十进位值制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界。”
中国科技大奖获得者中科院院士、数学家吴文俊教授在2004年世界数学家大会上说：“在上古时期，唯一完整无缺的进位制，只有出现在中华大地的十进位制。不仅如此，中国上古还有着举世独一无二具有位值的位值制十进制，可以说是人类进化史上最伟大最重要的发明之一”。
“五升制”为中国筹算、珠算所特有，它充实完善了“位值制”。使算珠减了量、算盘瘦了身、盘局缩了水、珠码增功能、珠算提速又提神。郭启庶教授指出：“珠算采用五升制，以‘以1当5’同‘以1代十、百、千等’一样，是数学的强‘基因’，追求思维‘经济’‘效率’”。“五升制是使珠算准确迅速的基本保证，从而淘汰了西方算盘，在今天为西方数学教育界所采用”。
五升十进制作为一种位值记数法，十分先进、科学。它优于古巴比伦的六十进位值制记数法、古罗马的单位符号简单累计记数法、古埃及的象形数字符号记数法、古希腊用全部希腊字母表示1到10，000的数字记数法、以及现在世界上通用的印度—阿拉伯数码记数法。
“五升十进位值制”的伟大意义在于提高了珠算的科学性和实用价值。使中国的珠算盘优于西方的十珠算盘、俄罗斯竖放左右拨打的算盘、罗马的沟算盘等。也优于手摇计算机、电动计算机；至于计算尺、计算图、计算表等或者计算精度低，或者计算范围有限，更不可与珠算相比。中国的珠算能长盛不衰，被全世界接纳认可，成为人类非物质文化遗产。究其原因就是在采用“十进位值制”的同时，兼用了“五升制”，为人类的计数、计算活动带来了无比的简易、方便和效率。所以“五升十进位值制”是使珠算赖以生存和发展的基石和动力，使得珠算成为最适合人类算具算法。
五、“五升十进位值制”强大的功能作用
“五升十进位值制”是对“位值制”思想方法最完美、最成功的创造与应用，是划时代的一项伟大发明。它简化了人类对数的认识与多位数的读写与计算，简化了计量单位的读写与变换，简化了数学计算与教学等等，不仅促进了我国古代数学的发展与领先，也促进了西方早期数学的腾飞。“五升十进位值制”还使珠算具有丰富的科学内涵和强大的功能作用，提高了人类数值计算的能力，为世界科学技术的发展提供了动力。
（一）、“五升十进位值制”的“位值”原则，是珠算的精髓与灵魂
“五升十进位值制”把累数制改善而达直观，表示数码也用位值原则，是最完善的位值制计数法，功能作用十分完善强大。珠算不用位值制就不能用相同的算子元素，累积构造出能够一眼直观出结果的基数码，就没有算盘简单精良的结构和珠算的简易、高效和现代化。“五升十进位值制”充分展示了位置与空间概念，以及运用位置的“差异性”；充分显示了符号个数的有限与表示的数值无限的辩证关系。
五升十进的位值制思想方法，对珠算起到了强大的简化、优化作用。使其运算机制、珠码符号、算盘结构、操作程序、算理算法等都得以精炼，是珠算的启动器、推进器与加速器。所以说，“五升十进位值制”是珠算的精髓和灵魂。
（二）、“五升十进位值制”让珠码符号高度精简又体现累数思想
算盘是符号发生器。珠码是数形结合的典范，融实物与符号为一体，是理——象——数统一的优化组合。五升十进位值把珠算符号简化至极，仅以· 和·两个母码，利用位值制和累数制，就能拼组出十个珠码符号。通过“顺序记数”，在原码基础上拼动珠码，即可完成一切计算。其实拼动珠码就是计算，所以珠码符号天生具有计算功能。仅用动珠码四式：直加直减，拨本码；动五加减，拨补码；动十加减拨补码前位进一、退一；动五又动十加减，拨本码前位进一、退一。简化成一句话：不拨补码便拨本码，就能完成计算。这就是珠算，就这么简单。可以说珠码是世界上最优秀的数学符号，算盘是世界上最优越的计算工具和教具学具，珠算是世界上最简易、准确、迅速的纯人工技能的计算方法。
郭启庶教授对珠码符号的计算功能给予很高评价：“这非常了不起。当年，莱布尼兹提出‘万能算法’概念，就是想构造一个符号系统，使拼排符号即能表达所思。他在逻辑符号、微积分符号设计上，很有贡献，但在数值计算上他没有找到这样的符号”。“其实，由珠算就可构造升华出有计算功能的符号。古来的珠算从一定的角度看在一定程度上就运用了这种符号”。
五升十进位值制的珠码符号十分简练、明晰。只用简单的几个珠子和简单的几个动作，就能把抽象的算理讲明白。起到了从具体到抽象，从简单向复杂的引导作用，能帮助人类建立数概念及生成信息图象。珠码这种简洁形象直观的符号化的表数方法，易于人脑内化、贮存、记忆，易于思维驱动，而形成在脑子里打算盘的珠心算。它可以激活大脑、增强记忆、开发智力，更能提高人类使用数字的能力。可以说，五升十进位值制的珠码符号是脑算盘建立的基础。
五升十进位值制的珠码还能节省空间，档位可以反复使用，用了再用。一档能示十数，不超十的加减，也只需一个档位。它让时间与空间、速度与精度、质量与效率、人员与算具、耳眼与手脑诸方面积极作用都发挥到了极致。尽展五升十进位值智慧之高和珠码符号简妙之美。
（三）、“五升十进位值制”使珠算运算机制一体化
五升十进位值使累数、基数、位值的积极作用都能充分发挥，使珠算运算机制十分简捷，具有一体性。能融输入、计算、输出、贮存为一体，珠动数出，一拨而就。在输入数据的同时，也就完成了计算、输出和贮存，只需动算珠系统一个动作，就能操作“四合一”，快捷至极。零和小数点、运算符号都不需操作，大大优于笔算的漫布式和电算的分步制，加减算的速度之快，让电子计算器望尘莫及。所以在电子计算机普及的时代，还需要五升十进位值制的珠算来补充。珠算的一体化运算机制，仅此一例，举世无双，全球第一。
（四）、“五升十进位值制”揭示了人类生理视察的极限，十分科学
“五升制”遵循了人类视觉神经的生理规律。心理学家耶文斯著名的黑豆试验，揭示了人类视觉准确迅速分辨物量的极限是4，可以做到百分之百的准确，而5以上则随物量增加准确率递减。“五升制”选中了最佳值，把“5”当作一个中间单位，巧妙地安排一颗上珠当5。5可以单张，也可以与下珠累数组码，珠算就有了数群示数的“五升制”。这是一个举世无双、独一无二的伟大发明，它强化了位值制思想方法，让珠算示数、表码都运用了“位值制”，使珠算充满了生机。也让我们感叹古人的聪明才智。
（五）、“五升十进位值制”使算盘的简单结构与科学性能统一和谐
算盘结构十分简单。由珠、梁、档、框四部分构成。精良无赘，完美无缺，无可增减，不能改变；档次分明，位数不限，大可容亿、兆，小可容微、纳，是珠算最优秀、最科学、最合理的设计，是纯人工操作算具算法之典范，成为最适合人类计算的利器。
算盘的科学内涵十分丰富。算盘既有下珠的数个，又有上珠的数群；既有上下珠的凑五拆五，又有前后珠的补十拆十；既有梁框珠的互补、正负对应，又有全珠与下珠的互替关系等等，集累数制、位值制、浮点制、动静码、二元示数、分段示数、顺序记数、正负记数、数形结合、符物统一等于一身，充分体现了集合思想方法、空间位置思想方法、对立统一思想方法和符号化、程序化思想方法，把中华数学的许多先进理念都浓缩在一把小小的算盘里。利用算盘易于理解数与数群的理念以及数的分解与组合，缩短了由逐一数数到按数群计算的过程。使算盘成为儿童由形象思维向抽象思维过渡的桥梁；使珠算成为提高人类使用数字能力的绝活。所有这些，足以说明五升十进位值制珠算的科学性：简单而又深奥。
算盘简单精良的结构，拥有众多功能作用。首先是“二元示数”，为中国算盘所独有，是珠算的本质特征；梁框珠数值互补，正负互应、具体直观、此消彼长，体现了矛盾对立统一规律，是一切简化方法措施之源；还能使一些难懂的算理如正负数运算变得简明易懂；也可为实用带来方便。其次是“数形结合”，融实物与符号为一体，使珠算既是数值计算又是珠阵图形变换，一举两得，让算与变、数与图完美统一；使算盘既是算具又是图具，具有几何功能，将算珠做点的模型，直观点集作图，可直观用数刻划量，求长度，算面积；还可简化完善几何的解题和教学，以及图示繁难应用题的求解。再次是“分段示数”，可做分数加减，不用通分，只需辗转加减；求最大公约数，不用短除，只需辗转相减；解比例，不用乘除，只需加减；解方程，不用代入消元，也只需辗转相减，大大简化了数学计算。第四是“并行算法”，可双手并用，同时在多个档位上拨珠运算；可心算珠算结合，做一目多行加减，一口清乘除和一目三行弃九翻打传票；珠心算可一心多用，同时做多项、多题计算，或一边心算，一边歌舞等十分神速，令人感叹。第五是可串接使用，一把算盘不够，再串接上一把、两把做计算，使计算位数无限延长和外态个数无限增加；徽商设算盘九层，使总店、分店经营情况，一目了然；明代律学家、历学家朱载堉就是利用串接算盘完成了“十二平均律”的复杂运算。我国第一颗原子弹和第一艘核潜艇的许多数据，也是用算盘打出来的。
对算盘如此丰富的科学思想方法和众多的优异性能，美国理查德博士称赞道：“越是研究算盘所具备的特性，越会发现这个简单的计算工具所可能具有的伟大性”。
（六）、“五升十进位值制”增强了珠算的普适性和渗透力
首先，用“五升十进位值制”武装起来的珠算是手、脑、机通用算法模型。珠心算是珠算升华而成，当然机制、程序、算理、算法相同。珠算与电子计算机都与《易经》渊源颇深。珠算的五升十进位值与“河图”、“洛书”、八卦有缘，电子计算机的“二进制”也源于“周易八卦”。计算机在机制方面借用了珠算程序；在符号方面借鉴了珠算的设计思想，都是“变码制”。所以，珠算与计算机原理相当、算法相应、语言相通、程序相似、方法技巧可以共享。因此，珠算、珠心算、电子计算机三者可以自然整合，教学珠算的同时也等于教了心算与电算，一学三会。既然珠算是通用算法模型，就应该与计算机长期并存，各扬其长，互补其短，共谋发展。正如美国弗兰克林大学教师莫里逊指出的那样：“即便是原子和电子计算机时代，也还是需要基础数学知识，而算盘在其漫长的历史中，证明了它的基础概念是会永久持续下去的”。
其次，简单通俗、直观易懂的珠算，是一种极易普及的大众文化，具有广泛的群众基础和社会实践性，普适性和渗透力很强。对其他计算工具计算方法无能为力的领域和特殊人群，珠算都可介入，独显身手，大有作为。如用算盘可以教会弱智和患自闭症的少年儿童学会计算，提高智商；用算盘可靠触觉输入信息的特点和盲人听觉、触觉、直觉感和思维力、记忆力、想象力强的优势，可以教会他们打盲人算盘，提高计算能力。
再次，形象直观的珠算是一种不用翻译的世界语。无论是中国人或外国人，成年人或小孩子都能看得懂、学得会、用得好。美国珠算教育中心主任列奥·理查德博士说：“珠算帮助儿童识数是个飞跃，不分种族、肤色、语种，用算盘上课，都能让学生明白”。“算盘是世界上最好的算数教具，是世界上共通的算数语言”。2013年12月被联合国教科文组织批准列入人类非物质文化遗产代表作名录，得到全世界人民的认可和推崇，许多国家和地区都在推广学习、使用珠算和珠心算，具有历史必然性，不是偶然的。
从以上三个方面看，珠算的普适性和渗透力是非常强大的，五升十进位值制的优势是十分明显的。
（七）“五升十进位值制”赋于“珠算简单，但不简陋”的本质特性，也使珠算内化升华为珠心算，成为一门启智科学
“五升十进位值制”使珠码符号简化至极，利用儿童的遗觉像潜能，经过专门的训练可将珠像内化大脑形成珠心算，这种可与电算相篦美的、超常的脑珠速算技能，还能提高儿童的智商和情商，使珠算升华为一门启迪智慧的科学技术，也使得数学早教（三、四岁开始）成为现实，让珠算拥有强大的教育功能。这正是珠算简单而又科学深奥的魅力所在。
综上所述，足以说明用“五升十进位值制”构造出来的珠算盘，具有众多的优异功能，是最适合人类计算和教学的算具算法；从而计算机借鉴了珠算的基本机制和思想方法，珠算、珠心算是最适合人类应用、能与电子计算机一致又能开发智力的计算方法和科学技能。用“位值制”、“累数制”、“变码制”和集合思想方法、空间位置思想方法、形象思维与抽象思维相融合和二元示数的对立统一思想方法等科学思想哺育出来的珠算，是最适合人类的算具算法。
参阅资料：《当代中国珠算》、《珠算学概论》、《珠算科技知识》、《上海珠算心算》、《珠算与珠心算》，郭启庶教授的《没有新的佐证，不能否认或存疑珠算是中国发明》等。
