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珠算作为世界另一种知识体系的意义

2018/2/26 10:38:17   http://www.shzxs.org  来源:上海市珠算心算协会   阅读:568人次

 

珠算作为世界另一种知识体系的意义

郭 启 庶

   

联合国教科文组织对于珠算申遗成功的批文中提到:珠算“向世界提供了另一种知识体系。”颇富于洞察力、概括力。这里的“知识体系”显然是指学科知识体系,是数学-数学教育-算具算法知识体系。所谓“另一种”,显然是相对于欧洲率先引入构建使用而后传遍了世界各地至今的数学-数学教育-算具算法体系,即“笔算数学”说的。

     学科知识体系,显然不是指某个单个的知识点,也不是指碎片化的所有知识点的总和,而是指该学科相互密切联系起来的各有各的地位作用的知识点网络的整体。

一、笔算与珠算基因和知识体系

珠算“向世界提供了另一种知识体系。”就可比性而言,相当的现行的“一种知识体系”应当是笔算数学。人人熟知的数学-数学教育-算具算法是笔算贯彻到底的,一说起数学-数学教育-算具算法,大家不约而同的就认为是笔算知识体系那一套(引进中国时被简称笔算数学)的样子,形成默契似的。哪里还能有别的?可是,联合国教科文组织全面考察了珠算之后,发现世界上竟然还有相当的另一种知识体系——珠算知识体系,当然,也可以简称它为珠算数学。显然,这种考察是颇具洞察力的,概括性比较切实到位。
    
在笔算或珠算知识体系中,起决定性作用的是其基本机制和思想方法,也可称其为基因。由于基因不同,其作用和优越性就不同,由其衍化构建起来的知识体系就更不同。所以,仔细分析研究清楚笔算、珠算基因的特性,是首要的任务。

为了简明,现在所认识到的笔算与珠算的主要基因特性对比情况表列如下:

     由上表可以清楚看出,笔算基因与珠算基因一系列特性都是不相同的,由各自基因衍化构建出的知识体系,区别将会更多更大,优越性也会迥然不同。因此,相对于人们熟知的笔算知识体系,把珠算称为另一种知识体系,是非常贴切到位的。

现在,由笔算衍化构建的数学-数学教育-算具算法体系已经推行了几百年(在中国也超过百年),通过一代又一代人的应用、不断改进,已经相当完善了,要想再有新的改进,特别是有大突破的余地已经不多了。而由珠算衍化构建的数学-数学教育-算具算法体系,有的部分(如用于现代启蒙数学教育)尚处在初创阶段,已经显示出巨大的系统优势(如每周花费相同的教学时间,珠算数学三年就能完成笔算数学六年的教学任务)。其中的道理不难明白:因其基因优越,优秀基因衍化出的系统将会使优越性叠加放大而更加显著。正如不同品种的两种鸡蛋看起来差别不大,但孵化出的良种鸡与普通鸡的差别就显著了,而且随着小鸡的成长差别会越来越大。

珠算文化的魅力,珠算珠心算的一切优越作用,归根结底可以说都是由珠算基因衍化出来的。所以,弘扬珠算文化,弄清珠算知识体系,首先要下大功夫把珠算基因-珠算本性-珠算本义深入进行研究,要愈来愈全面深刻地把握住它们。要知道珠算计数法是世界上优越性最完备的计数法;珠算符号是世界上唯一具有计算功能的符号,拼排算母就能完成计算;珠算法程序式,省储存空间,是世界上唯一普适于手操算、脑算、电子计算机的通用算法模型;珠算机制能够集输入、储存、施算、输出一体完成,直观快速无比,使计算易形成直觉,在这方面至今找不到第二例;珠算是白箱,其原理、机制和思想方法可以直观无遗;珠算二元示数,透彻体现数学中的阴阳互逆、对立统一规律,能够处处左右逢源,起着简化作用;珠算数形一体,亦数亦形,算具兼图具,尤其对于数学启蒙教育具有独特的意义;珠算与图灵机等价,可以解决一切可计算问题;珠算在原理、机制,基本思想方法,算法语言程序,思维方式等等方面与电脑高度一致契合,珠算是形象化的电脑;珠算法程序的智慧和技巧可以与电脑共享;珠算是古代机械化数学的代表,是形成中国机械化数学思想方法的主要支柱;珠算也可以运用公理化思想方法整理……珠算特别在数学启蒙教育中,既恰当(直观揭示数学本质,符合儿童心理)又优越无比,从简易、高效,培育数学核心素养含金量高等等方面来衡量,没有能与其比肩者。

二、运用珠算等优秀数学基因使数学启蒙教育简易、高效、现代化

  一种算具算法的基因的特性优越,有决定的意义。决定着由此构建起来的算法系统、数学启蒙教育知识结构系统的繁简难易,效率,普适性,培育数学核心素养的作用等等。这些,仅从一种算具算法及其所构建的知识结构系统中难以发现和衡量,而通过多种算具算法进行分析对比,比如,取珠算与笔算对比,就可以明显的看出来和进行衡量。

观察表1,珠算具有累数思想、基数周期思想和位值思想三条完备计数法思想;而笔算不含累数思想。珠数码  只用一个算珠元素,运用累数(下珠)思想、位值(上珠以五为单位)思想,就构造出十个;而印度-阿拉伯数码(简称印-阿码)1,2,3,4,5,6,7,8,9,0十个数码是十个不同的抽象符号,既不含累数思想,又不含位值思想。

由于印-阿码不含累数思想,无法体现数的直观形象和运算的涵义,就没法凭借该数码认识数,理解运算,明白算法。于是,就要外借其它教具,熟知的就是摆小棒、数小棒、捆小棒,还要教学各数码符号,并把各抽象数码符号与小棒形象联系起来,理解数的涵义,运用小棒涵义讲运算方法,与抽象的印-阿数码形成条件联系。这要死记硬背如 5+3=87+8=15,…,9-4=516-7=9,……称为“加法表”、“减法表”的,共162式,不能混,不能漏,必须搞得滚瓜烂熟,如同本能式的方管用。这显然是项繁难的教学任务,从幼儿园就开始了,直到小学一、二年级,大抵延续两、三年时间。

到了多位数运算,笔算要列竖式,先把已知数输入对位写在纸上,叠摞起来(图1左),然后从低到高位,逐位按加法表得出各位两个码加得的数,写在横线下面作输出。这是最简单的竖式,也要占三个储存单元,分别用A,B,C表示;如果有进位的,还要用小号字写在相关的位上,那样占的储存单元更多了;如果加数增多,又得增加储存单元。这种方式,称为漫布式

珠算,这里拨珠625靠梁就是输入(图1右,白珠),再输入273(色珠),与盘上数相拼自动成得数(盘上数自动刷新成898)。只用一个储存单元A,盘上不能叠摞数,只能按程序先后分步用,一个储存单元可用了再用,称为程序式。而且,输入、储存、施算、输出一体完成。算盘二元示数,靠框的算珠也能表示数,向框拨珠就是减;正负数可以自动分别用梁珠、框珠表示绝对值,够减、不够减算法统一,教学正负数自然天成,左右逢源;而笔算办不到算法统一,教学正负数各要另搞一套法则。

笔算采取漫布式,要抄写许多数码列算草,按加减表背得数又要费时,所以笔算速度缓慢不实用是其致命缺点之一。尤其,漫布式,占用储存单元过多,脑算行不通,计算机也行不通。因为脑算、计算机算法都要节省储存,采用程序式,从而珠算法是普适于脑算、计算机的通用算法,学珠算一学三会。运用珠算教学数学,处处都用程序式,强有力地培育了程序思维能力和习惯。

从这最简单的例子,就能比较出笔算、珠算的差异。可以想象,多位数、多个数加减,笔算又得增加许多条法则。多位数加减竖式如此,多位数乘除及高级运算是加减的程序,竖式差别就越来越大了,处处都要重新学习。特别只是会做还不行,还必须熟练、准确才管用,这就要多练,于是,仅是整数四则就设置了七个循环圈:10以内,20以内,100以内,千以内,万以内,百万以内,多位数;通过每个循环圈反复进行练习,方可达到条件反射的熟练程度。仅仅整数四则,就要花费500学时,占整个小学数学教学时间过半。

而运用珠算,不管一位多位,都是按位拼排算母,自动得数,顶多是进位时再用一个算母;加减是直接拼算母,乘除不过是按码积拼算母,都是自动得数;而且算母内化自动成脑算;珠算算法程序也适合电子计算机。整数、小数、正负数四则,也都是拼排算母而已;因为处处都是拼排26个算母,所以每个算母练习的机会多,自然能够熟练,能够内化形成脑算;所以,教学实验表明,总的教学练习时间相对笔算很少——教学练习整数、小数、正负数四则,只用126学时,包括再增加50%机动练习时间,才用189学时。

在计算方面,由于运用珠算基因,相对运用笔算基因大大缩短了教学时间,而且计算能力(特别是脑算能力)还大大增强了。受此启发,在其他方面也尽量采用优秀基因,如在讲道理、推理上采用率思想方法简化,充分运用符号化思想方法简化载体,都因简化而节省了教学时间,提高了能力。教学实验反复验证,笔算数学小学六年的内容,用优因数学三年就完成了。

珠算用于启蒙数学教育,比用笔算进行数学启蒙教育简易、高效、现代化,容易看到成绩。例如,前曾提到每周花费相同的教学时间,三年就能完成用笔算教学数学小学六年的任务,差别悬殊明显,最能够令人信服。所以,应当首先大力开展珠算在数学启蒙教育中的教学实验,积极进行推广。特别因为这是基础,如果数学启蒙教育中用珠算,那么,人人上学,都要学数学,于是人人都要学珠算,人人会珠算、懂珠算,就容易开展起来弘扬珠算文化的一切活动,例如开展计算机-人工智能启蒙教育活动,实用中普遍运用珠心算(这比任何方式计算都简捷,显得人聪明,办事效率高),在少儿老年中开展开发人的智能的珠心算活动,鉴定、比赛,社会文化活动,民族认同,交谊……珠算用于启蒙数学教育普及面最宽,弘扬珠算就能生根固本,就能更广泛、更深入的为人类造福。

三、珠算知识体系现代架构

中国历史上,计算业务最多的是经商、贸易。由于珠算简易快速无比,所以商贾须臾不能离。于是士大夫就把珠算与商贾捆绑在一起,人们甚至把珠算作为商贾的代表、图腾,作为商贾的象征,而不把珠算作为数学科目,认为珠算“非几砚之物”,不入学术风雅之流。加之,中国古来“重农抑商”,视商鬻为“贱业”,珠算就成了“贱技”……所以,一直未能深入研究珠算。及至近代,数学教育全盘西化,“欧洲中心论”盛行,历史虚无主义渗透到各个方面,原本作为“贱技”的珠算,更是雪上加霜,虽然用之者众,研究者却更寡了;有关的学术界,有的学者,对珠算更不了解,以致杜撰出“中国珠算普及的同时,数学却跌落了”;甚至哀叹:“中国发明了珠算,不啻是一场悲剧”;至于说珠算“雕虫小技”,“难登大雅之堂”之类,只能算是小意思了……不识珠算的真谛,形不成理性认识,明珠暗投,认识不到珠算的真正价值,都是因为对于珠算缺乏深入研究造成的。所以,认识、复原珠算知识体系,构建现代珠算知识体系,必须从深入研究珠算做起,首先从珠算的本义、本性、基因入手。这方面研究到位了,形成了理性认识,其他的现象就容易明白了。

不少人往往以为珠算“简单”,不值得研究。1936年,英国学者阿兰·图灵提出了一种抽象的计算模型——灵机(Turing Machine)

     图灵的基本思想就是用简单的机器来模拟人们进行数学运算的过程。图灵机至为简单(图2但却是运算能力极强的计算装置,图灵论证它可用来计算所有能想像得到的可计算函数。其实,正是简单,能够凸现计算本质。“图灵机被公认为现代计算机的原型。图灵机出现不到十年,就制造出了世界第一台电子计算机。我们已经证明过,珠算与图灵机等价,珠算与图灵机有相同的计算能力[1],珠算就是现成的图灵机。如果大家都能像研究图灵机那样研究珠算,会有越来越多的新发现,自然会对珠算刮目相看。珠算不怕研究,就怕不研究,更怕不研究就胡乱下断语。

根据现在对于珠算研究所达到的认识,以及概括总结现实珠算活动的实践经验,对于现代珠算作为“世界另一种知识体系”,可以提出如下(图3)现代架构:

                         3  现代珠算知识体系架构

3中,“珠算本义”是学科的支撑基础和核心,其他一切理论和应用都是由此衍生出来的。必须把珠算作为一个系统,下功夫如同研究图灵机那样,把它的机制、功能研究清楚。进而研究其计数法的完备性,计算系统的六个世界第一,珠算是形成中国机械化数学思想方法的主要支柱,珠算与电子计算机的关系,珠算命题的论证和公理化等等[2]进行深入研究。不然,脱离开珠算本性去说珠算珠心算如何如何,就成了无本之木,无源之水,难以形成理性认识。本性的无比优越性搞明白了,也容易理解珠算在历史上作为“另一种知识体系”的重要意义。

历史上,珠算突出的功绩是实际应用和数学启蒙教育。现在武装以电子技术的珠算——电子计算机(器)——已经普及,珠算在实际应用中退居后台;出现在应用前台的是珠心算和电子计算机(器)。这不是淘汰了珠算,只是珠算在后台起支撑作用,不出现在前台而已。但在数学教育方面,珠算仍然无可替代。电子计算机是黑箱,用于启蒙数学或计算机算法教育是短板;而珠算是白箱,正可以弥补电子计算机的短板。因此,电子计算机时代,仍然应当充分发挥珠算无比的优势作用,特别是用于数学启蒙和电子计算机(人工智能)算法启蒙的教育作用。

“用珠算构建启蒙数学课程知识结构系统——优因数学”是珠算知识体系在当代的基础发展。普及了优因数学,人人学数学,就学珠算,人人都会珠算。有了此基础,构建“电子计算机(人工智能)算法启蒙教育系统”;构建“珠心算实用、少儿到老年开发智能教育活动系统”;开展传统珠算珠心算活动等,都有广泛的群众基础,就好办了。

优因数学,已经构建起来(图4)。优选了中国数学两条优秀基因:“珠算——手脑机通用算法”与“率-函数思想方法”。这是经过几十年实践、探索、研究才发现的,优越无比。珠算,实际是手脑机通用算法,世界独一无二;优因数学看似在教学珠算,实际连脑算、计算机算法同时都教了,一学三会;把数学计算教学简化到极致,还教学了许多最有价值的数学思想方法。率思想方法,就是量、单位、数相互联系相互作用的思想方法,是中国古代数学的独特创造;本是因为解决应用题这个“教学老大难”问题而发现的,后来继续研究逐渐知道它远不只仅仅如此,它是简化数学“理”——说理、讲道理、推理……最强有力的思想方法,能够把数学教学成一个密切联系的有机整体,把有关数学的道理说明白、说简单、说透彻、说到位,可以前后照应,左右逢源;率思想方法,实质是函数思想方法的原型,可以一贯到底。符号化,作为一种数学思想方法广泛运用,可以说是西方开创的,全盘西化来的数学教育里一直在用,可以说这是简化数学载体形式最强有力的思想方法;在优因数学里运用得更彻底到位。

珠算(通用算法)、率(函数)思想和符号化这三种数学基因,不只是数学教学的某一部分要用,而是贯通数学各个部分的始终,无论数学的哪个部分都得用。这三种基因简化效应叠加,会使整个启蒙数学教育系统产生简易化的连锁反应。这三种基因也相互贯通起来,相互解释,并用来建立整个启蒙数学教育知识结构的解释系统。简言之,将这三条优秀数学基因在基因层面上融合起来,用以构建启蒙数学教育知识结构系统,简称此系统为优因数学。

我们已经从各个层面各个角度透视过笔算,都远远落后于珠算,因此在启蒙数学教育知识结构体系中必须用珠算基因替代笔算基因。笔算思想方法(如漫布式等),捆小棒,运算系统软件(如需要死记硬背的162式加减表),笔算竖式等等都是专为笔算或因为笔算而设置的,不用笔算了,这些都不必再教学,从而可以节省大量的教学时间。而笔用作“记录”的功能而非“算”的功能的层面,应当照样保留,如用印度-阿拉伯数码记数,横式,横式书写表达计算步骤,乘法九九表(学习、记忆方法可用上珠算优势),符号公式书写,论证说明等等都照常使用。充分运用符号载体,特别因为无论现行的西化来的笔算知识结构体系,或是优因数学,其外衣都是符号化的载体形式,所以,按照优因数学新知识结构体系学习的学生,照样能够看明白原来笔算数学体系的数学内容;现行笔算数学的老师,也容易明白优因数学。当然,珠算也要作必要的改进、完善,使之更趋简易化。如运用率思想方法讲道理,充分运用符号化思想方法,突出符号内化的要求,完善实现内化的方法,创建与电子计算机一致的算法语言程序,充实、完善数学机械化思想方法,发挥珠算体现数学机械化思想方法的模型作用……总之,充分体现珠算本义,达到最简易化,发挥珠算在各个层面的无比优越的作用。

优因数学,既吸取中国优越无比的优秀基因珠算、率思想,又要保留西洋笔算数学知识体系方法措施的一切优点。但是,不能保留笔算落后的基因,如笔算法系统。例如,启蒙数学教育中笔算、珠算两种方法都教,无论从理论上或是从历史教学实践上看都是没有好处的。

数学启蒙教育中,能不能既教学笔算,又教学珠算,将二者“结合”(或整合)起来?这是长期困扰着人们,并不断尝试着实验解决的问题。却一直未能解决。

中国数学启蒙教育全盘西化后,学校数学教学中用笔算,实务应用中用珠算。从而小学不得不另开一门珠算课,于是在小学里同时开设笔算(在数学里)、珠算两门课,这显然是不正常的。所以从20世纪二、三十年代开始到五、六十年代,就不断有人提出将珠算纳入数学课,笔算、珠算两样都教学。从而人们想到把珠算笔算化,例如盘上有4,再加3,先用“加减法表”“4+3=7437”,于是,把盘上的4改成7。显然这抹杀了珠算的计算功能,比按“三下五去二”复杂缓慢多了,谁也不愿意这样实施珠算。还有按笔算竖式做成“多层算盘”,按竖式拨珠演算,这样无论算具算法都更繁琐了……到了七十年代,提出了“三算结合”,就是口算、笔算、珠算“结合”,“以笔算为主体,以珠算为工具”……教学实验面几乎遍及全国各省市。“三算结合”其中笔算原本就包含着口算,实质还只是在要笔算和珠算“结合”。

笔者也是“三算结合”的积极参加者,践行者,1970年代被抽调到信阳地区文教局专门搞三算结合,编了一套有特色的信阳版三算结合教材,被陈梓北教授称为“第四方案”。笔者许多年间一直关注三算结合,比较了解各地三算结合理论研究和教学情况。对于三算结合教学,前后许多年间笔者一直围绕着“结合”进行研究,思考……明白了一些根本道理。

回想这一过程,回顾了许多尝试性的改革做法。其间,也有提出把笔算珠算化的,其实也只是把笔算的低位起算改为高位起算……说是“结合”,却是怎么也不能真正“结合”起来,实质还是笔算、珠算两样都教都练;甚至同一道题用笔算一遍,再用珠算一遍,当然这要比只教学一样要多花教学时间了。

当时的说法,口算、笔算、珠算,相加减时,都需要同单位相加减(单位对齐),满十进位;算得的结果相同,运算规律(如交换律、结合律、分配律)相同……所以可以结合。其实这都是从数学原理上说的,而非从算具算法本性说的。从数学原理上来看,任何算具算法都必须符合数学原理,都相同,没有区别。但是,对于两种算具算法是否能够结合只看数学原理不行,必须从算法要素——输入、储存、施算、输出——机制来分析。从算法要素机制来看,笔算与珠算毫无共同之处,因此教学会了笔算,照样不会珠算;同样,教学会了珠算,照样不会笔算。

所谓两样“结合”,最低应当是:教学了这样,就能够会那样才行。显然,对于笔算、珠算来说这办不到;实验中各种改的做法,违反了各自算具算法的本性,因而赶不上原来的算法简捷、方便、自然,都不成功。由算法本性决定,笔算、珠算是不可能结合的。如果硬放在一起教学,那只能是两样都教学,实质只能是两样平行教学,各按各的方法教学。虽然这种平行教学,对于数学没有害处(甚至还可找到一些好处),但是要教会并真正掌握笔算需要花几百个学时,多花这么多教学时间,就不值了,就是大害处。时间是个常数,至为宝贵,有限不可再生,这里多花了教学时间,那里就没有时间教学更多更紧要更有意义的东西了。所以,用相同的教学时间,实施“三算结合”的班级,数学水平难以有显著的提高。

总之,笔算、珠算都是用来解决数学启蒙教育计算有关的问题的,两者只要选用一样即可。

谁的基因优越,就选用谁。看优越性的主要方面就是因其简易而省教学时间。选择商品,人人都知道注意“性价比”;选择数学基因自然要注意“效时比”。根据我们在前面对于笔算、珠算本性的分析对比,数学启蒙教育应当选用珠算,用珠算替代笔算,不能平行教学两样。笔算是漫布式,无论对现代抑或对未来发展意义不大,不习惯漫布式,没有关系;现代与未来,我们急需的是程序式思维,珠算恰恰是程序式。我们首要的考虑,就是不能浪费宝贵稀缺有限的教学时间,教学内容要有增有减,不能只增不减。虽然,实施笔算与珠算“结合”、“整合”可能有一定的过渡意义,但不是上策,只能是权宜之计。近代公认的熟悉中外数学教育的研究大家浙江大学教授俞子夷(1886~1970)曾经说:“珠算、笔算要是两样都好,那么只要拣定一样,学个彻底,何必要学两样?”[3]他说的是珠算、笔算两样都好的话,也只能学一样;何况,现在我们已经知道珠算比笔算好,那就更不该平行学习两样了。

通过十多年来的教学实验证明,由珠算等优秀基因构建的优因数学确实优越。简易、高效、现代化,教学含金量高。大抵上,每周花费相同的教学时间,三年就可以完成现行全盘西化来的笔算数学六年的教学任务;六年可以超过初中数学水平;七年半全覆盖高中数学;九年达到现行大学一年级的数学水平。不仅对于数学知识技能的学习因简易而高效,节省了教学时间,教学了更多的内容,提高了数学水平,增强了学生数学能力,而且,从培育数学核心素养上来看,经过具体分析,处处都有很大的优势。

我们说,用珠算构建数学启蒙教育知识结构体系,现在已经有事实存在,而不只是纸上谈兵。不仅有方案,还有教材18册,有些册还有教学指导书、练习册,教学实验已经有十多年,有些册进行了许多轮的教学实验……优因数学已经在行动中,教学实践说明是切实可行的[4]

这里,我们花了这许多文字,来解释“用珠算构建启蒙数学课程知识结构系统——优因数学”。是因为这项工作,是现代弘扬珠算文化,构建珠算知识体系的核心,也是现时代迫切需要的。同时这还是开展珠算学术活动和充分发挥珠算在各方面作用的基础。

互联网技术的发展,促进了人工智能的兴起,计算机必将步入一个崭新的普及的时代,因此计算机技能、特别是编程思维方式,是未来社会所必须的。有人说,未来不会编程可能就是文盲。因此需要从小培养计算机编程思维。数学启蒙教育用珠算数学,珠算透彻体现着程序思维方式,学习数学就等于让孩子泡在了编程思维里,自然是好事。如果有些人群觉得这还不够专业,可以在此基础上构建“电子计算机(人工智能)算法启蒙教育系统”,在优因数学基础上构建此系统简直就是水到渠成的事。当然,将来构建“电子计算机(人工智能)算法启蒙教育系统”也属于“珠算知识体系”(另一种知识体系)的内容,有待于我们继续努力完成。

在用珠算构建的数学启蒙教育(优因数学)中,孩子们熟练掌握了珠心算,普及了珠心算。于是,在实用中,过去是用算盘;未来将变成了用内化脑中的“算盘”——珠心算,更显得方便、快速、灵活,人精明,办事效率高。再者,已有研究表明,珠心算对于少年儿童开发大脑智能有明显的作用;甚至,老年人学习珠算珠心算,对于开发智能、防止痴呆、延年益寿等有独到的作用,从而开展起了老年珠算珠心算活动。这又是一项珠算珠心算在现代的新发展。尚有待于总结、提高、系统化,上升到理性认识,构建出完善的“珠心算实用、少儿老年开发智能教育活动系统”,这也应当属于“珠算知识体系”(或世界另一种知识体系)。此外,有关知识珠心算技能鉴定、比赛活动,以及有关珠算的社会文化认同交谊活动等,都是珠算传统活动,都应纳入珠算知识体系,进行总结、提高、系统化。显然,珠算用于数学启蒙教育,也为这项活动提供了稳定、可靠和广泛的群众基础。

当然,随着各项研究、活动的开展,珠算知识体系会不断发展完善,将来还会出现一些分支,进一步丰富、深化珠算知识体系的内涵。

注:[1]参见 郭启庶著《优因数学基础》,河南科学技术出版社,201491版,79~84页。

     [2] 参见[1]第一编,2~137页。

     [3] 参见郭启庶著《数学教学优因工程》,海南出版社,20064月第1版,131~132页。

[4] 参见[1]第三编  优因数学的理论和教学实验。233~388页。



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